Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 22
22- Comprimento de um astroide O gráfico da equação faz parte de uma família de curvas chamadas astroides (e não asteroides) por causa de sua aparência de estrela (veja a figura abaixo). Determine o comprimento desse astroide em particular, determinando o comprimento de meio pedaço do primeiro quadrante, , , e multiplique por 8.
Passo 1
Fazendo o que a questão nos pede, que é o comprimento da metade da linha que se encontra no primeiro quadrante nós teremos:
Onde a derivada de em relação a será:
Pela regra da cadeia nós temos:
Elevando essa derivada ao quadrado teremos:
Passo 2
Agrupando esse resultado na integral de comprimento de arco nós teremos:
O que nos dá:
Passo 3
Agora multiplicando pelos 8 pedaços que faltam nós temos:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
A aproximação L ≈ ∑ k = 1 n Δ x k 2 + f x k - f x k - 1 2 do comprimento de arco não está dada como uma soma de Riemann.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O gráfico de y = 1 - x 2 é uma curva lisa em - 1,1 .
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. 24 x y = y 4 + 48d ey = 2a t éy = 4 é
Expresse o comprimento de arco exato da curva acima do intervalo dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical; em seguida, calcule a integral usando um CAS. y = ln ( se
Na nossa definição de comprimento de arco do gráfico de y = f ( x ) , é necessário que f ' ( x ) seja uma função contínua para que f satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio (4.8.2)