22- Comprimento de um astroide O gráfico da equação faz parte de uma família de curvas chamadas astroides (e não asteroides) por causa de sua aparência de estrela (veja a figura abaixo). Determine o comprimento desse astroide em particular, determinando o comprimento de meio pedaço do primeiro quadrante, , , e multiplique por 8.
Passo 1
Fazendo o que a questão nos pede, que é o comprimento da metade da linha que se encontra no primeiro quadrante nós teremos:
Onde a derivada de em relação a será:
Pela regra da cadeia nós temos:
Elevando essa derivada ao quadrado teremos:
Passo 2
Agrupando esse resultado na integral de comprimento de arco nós teremos:
O que nos dá:
Passo 3
Agora multiplicando pelos 8 pedaços que faltam nós temos: