22- Comprimento de um astroide O gráfico da equação x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 faz parte de uma família de curvas chamadas astroides (e não asteroides) por causa de sua aparência de estrela (veja a figura abaixo). Determine o comprimento desse astroide em particular, determinando o comprimento de meio pedaço do primeiro quadrante, y = 1 - x 2 3 3 / 2 , 2 4 ≤ x ≤ 1 , e multiplique por 8.

Passo 1

Fazendo o que a questão nos pede, que é o comprimento da metade da linha que se encontra no primeiro quadrante nós teremos:

L = ∫ 2 / 4 1 1 + d y d x 2

Onde a derivada de y em relação a y será:

d y d x = d 1 - x 2 3 3 2 d x

Pela regra da cadeia nós temos:

d y d x = 3 2 1 - x 2 3 1 2 × - 2 3 x - 1 3 = - 1 - x 2 3 1 / 2 x 1 3

Elevando essa derivada ao quadrado teremos:

d y d x 2 = 1 - x 2 / 3 x 2 / 3

Passo 2

Agrupando esse resultado na integral de comprimento de arco nós teremos:

L = ∫ 2 / 4 1 1 + 1 - x 2 / 3 x 2 / 3   = ∫ 2 / 4 1 1 x 2 3 = ∫ 2 / 4 1 1 x 1 3 = ∫ 2 / 4 1 x - 1 3 d x

O que nos dá:

L = 3 2 x 2 3 2 / 4 1 = 3 2 - 3 2 × 2 4 2 3 = 3 2 - 3 2 1 8 1 3 = 3 2 - 3 4 = 3 4

Passo 3

Agora multiplicando pelos 8 pedaços que faltam nós temos:

L = 8 × 3 4 = 6

Resposta

L = 6

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Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 5 x entre 0,0e( 1,5 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:Fórmula (4)Fórmula (5)
Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 2 x entre 1,2 e( 2,4 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:Fórmula (4)Fórmula (5
A aproximação L ≈ ∑ k = 1 n Δ x k 2 + f x k - f x k - 1 2 do comprimento de arco não está dada como uma soma de Riemann.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O gráfico de y = 1 - x 2 é uma curva lisa em - 1,1 .
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. 24 x y = y 4 + 48d ey = 2a t éy = 4 é