23- Comprimento de um segmento de reta Use a fórmula de comprimento de arco (Equação 3) para determinar o comprimento do segmento de reta y = 3 - 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 . Verifique sua resposta determinando o comprimento do segmento como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Passo 1

Equação 3:

Passo 2

Fazendo a integral temos:

L = ∫ 0 2 1 + d ( 3 - 2 x ) d x 2   d x

L = ∫ 0 2 1 + - 2 2   d x

L = ∫ 0 2 5 d x

L = 5 x 0 2 = 2 5

Passo 3

Desenhando o gráfico vemos:

Vemos que em x = 0 :

y = 3 - 2 × 0 = 3

Tendo nosso ponto ( 0,3 )

E para x = 2 :

y = 3 - 2 × 2 = - 1

Temos nosso ponto ( 2 , - 1 )

Então os catetos do nosso triângulo valem 2 e 4, logo o valor da hipotenusa conseguimos encontrar por Pitágoras:

L = 2 2 + 4 2 = 20 = 4 × 5 = 2 5

Logo é isso mesmo o comprimento da reta no intervalo de 0 ≤ x ≤ 2

Resposta

2 5

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