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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 1b

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

1 2 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1 x 2  

Passo 1

A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 1 x 2  

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que estará representado de verde:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo x, temos que analisar qual é a interseção (verde no gráfico) e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam.

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é os intervalos são entre

x = 1 2   e     x = 2 :

Não se esqueça a fórmula!!!

V =   π ∫ f ( x ) 2 d x

Passo 3

Nosso intervalo de integração será x = 1 2   e     x = 2 , e função f ( x ) = 1 x 2   :

V   =   π ∫ 1 / 2 2 1 x 4 d x   =   π ∫ 1 / 2   2 x - 4 d x   = π -   1 3 x - 3 2 1 / 2 = - π 3 ( 8 - 8 3 ) = 63 π 24 = 21 π 8

Resposta

V = 21 π 8

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ y ≤ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : y 2 ≤ 2 x - x 2 ,y ≥ 0
Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulo equiláteros:
2.Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,1 ) , ( 0,1 )e( 1,0 ) e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x - x 2
2.Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 4 x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos: