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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 2

(Teorema de Papus para a elipse.) Considere que o conjunto A de todos os pontos (x,y) tais que

( x - α ) 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1   a ≥ 0   e   b ≥ 0

e situado no semiplano y ≥ 0 . Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , do conjunto A é igual ao produto da área da elipse pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo centro ( α , β ) .

Passo 1

Em questão que precisaremos mostrar um fórmula, iremos escrevê-la para termos um norte e sabermos onde devemos chegar. Para esse problema:

V = π a b 2 π β

Temos que chegar nesse volume, então vamos lá!

Isolaremos y :

( x - α ) 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1

y - β 2 b 2 ≤ 1 - ( x - α ) 2 a 2

- b 1 - ( x - α ) 2 a 2 ≤ y - β ≤ + b 1 - ( x - α ) 2 a 2

Só falta somarmos β em todos os lados para isolarmos o y e assim completar o primeiro objetivo: β - b 1 - ( x - α ) 2 a 2 ≤ y ≤ β + b 1 - ( x - α ) 2 a 2

Agora nosso problema calcular os volumes:

V 1

y ≤ β + b 1 - ( x - α ) 2 a 2

V 2

y ≥ β - b 1 - ( x - α ) 2 a 2

Passo 2

O Volume da figura rotacionada em torno do eixo x , será dado por:

V = V 1 - V 2

Os limites de integração serão dados pelos vértices da elipse, é muita informação. Então anote as coisinhas!

α - a ; α + a

Nesse passo, faremos a integral. Vamos lá!

Faremos V 1 :

y 2 = β 2 + 2 β b 1 - ( x - α ) 2 a 2 + b 2 1 - ( x - α ) 2 a 2

V 1 = π ∫ α - a α + a β 2 + 2 β b 1 - ( x - α ) 2 a 2 + b 2 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

Quebrando a integral e tirando as constantes de dentro da integral, temos:

V 1 = π β 2 ∫ α - a α + a d x + 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x + b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

Faremos V 2 :

y 2 = β 2 - 2 β b 1 - ( x - α ) 2 a 2 + b 2 1 - ( x - α ) 2 a 2

V 2 = π ∫ α - a α + a β 2 - 2 β b 1 - ( x - α ) 2 a 2 + b 2 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

Quebrando a integral e tirando as constantes de dentro da integral, temos:

V 2 = π β 2 ∫ α - a α + a d x - 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x + b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

Passo 3

Nesse momento, teremos uma estratégia diferente das questões anteriores, antes fazíamos a integral de cada volume e depois subtraíamos, agora iremos subtrair antes, vamos sem medo:

V = V 1 - V 2

V = π β 2 ∫ α - a α + a d x + 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x + b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x - π β 2 ∫ α - a α + a d x - 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x + b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

Perceba que o primeiro e o último termo são iguais, então quando subtrairmos eles irão ficar igual a zero. Assim ó:

β 2 ∫ α - a α + a d x   -   β 2 ∫ α - a α + a d x   = 0  

b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x - b 2 ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x = 0

E o termo do meio será somado:

+ 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x - - 2 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x = 4 β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

O nosso volume será dado por:

V =   4 π β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x  

E agora finalmente, reduzimos nosso problema a uma integral definida, mas qual o método de integração ?

Integração por substituição trigonométrica, meu caro futuro engenheiro:

O cateto AB será dado pela função f ( x ) =   a 2 - x - α 2

O cateto BC será dado pela função h ( x ) = x - α

E a hipotenusa será dada pela função g ( x ) = a

sin ⁡ θ = a 2 - x - α 2 a   = 1 - ( x - α ) 2 a 2

cos ⁡ θ = x - α a

a c o s θ = x - α

Derivando, temos:

- asin ⁡ θ d θ = d x

Substituindo tudo na integral da questão, temos:

∫ 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x = - a ∫ sin 2 ⁡ θ d θ = a sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 - θ 2 + c

Substituindo os termos trigonométricos pelos termos em x , temos:

∫ 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x = a 1 - ( x - α ) 2 a 2 x - α a 2 - cos - 1 ⁡ x - α a 2

Faremos agora a integral do problema que era:

V =   4 π β b ∫ α - a α + a 1 - ( x - α ) 2 a 2 d x

= 4 π β b a 1 - ( x - α ) 2 a 2 x - α a 2 - cos - 1 ⁡ x - α a 2 α + a α - a

= 4 π β b a π 2

= 2 π β b a π

= π a b 2 π β

Área da elipse:

π a b

Comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo centro ( α , β )

2 π β

Ufaaaaa! Está como o falado no início do problema!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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