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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 43

Se x - for a coordenada x do centroide da região que fica sob o gráfico de uma função contínua f , onde a ≤ x ≤ b , mostre que

∫ a b c x + d f x d x = c x - + d ∫ a b f x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar a igualdade apresentada. Para isso, utilizaremos a definição de centroide.

Passo 2

Podemos separar a integral em duas integrais

∫ a b c x + d f x d x = ∫ a b c x f x d x + ∫ a b d f x d x

Colocando as constantes para fora da integral, temos

∫ a b c x f x d x + ∫ a b d f x d x = c ∫ a b x f x d x + d ∫ a b f x d x

Passo 3

Pela definição da coordenada x do centroide, sabemos que

∫ a b x f x d x = x - A

Dessa forma

c ∫ a b x f x d x + d ∫ a b f x d x = c x - A + d ∫ a b f x d x

Por definição também, sabemos que

A = ∫ a b f x d x

Assim

c x - A + d ∫ a b f x d x = c x - ∫ a b f x d x + d ∫ a b f x d x

Dessa forma, podemos escrever

c x - ∫ a b f x d x + d ∫ a b f x d x = ( c x - + d ) ∫ a b f x d x

Resposta

Como queremos provar,

∫ a b c x + d f x d x = c x - + d ∫ a b f x d x

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