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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.1 - Ex. 1

Encontre a área da região sombreada

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a área da seguinte região sombreada:

Para encontrarmos a área hachurada, basta integrarmos ( e m x o u y ) a função que está em cima (y = root(3)(x)) e subtrair pela função que está por baixo (y = (1)/(x)) no intervalo dado.

Analisando a figura, percebemos que trata-se do intervalo de 1 a 8 . Em outras palavras, este será os nossos limites de integração!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Ah, lembre-se que:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C

E

int (d u)/(u) = ln |u| + C

Passo 2

Com base no que acabamos de falar, temos:

int_1^8 root(3)(x) - (1)/(x) d x = int_1^8 root(3)(x) d x - int_1^8 (1)/(x) d x :.

int_1^8 root(3)(x) - (1)/(x) d x = int_1^8 x^(1 // 3) d x - int_1^8 (1)/(x) d x :.

Resolvendo as integrais utilizando os modelos do Passo 1, temos:

int_1^8 root(3)(x) - (1)/(x) d x = [(3)/(4) * x^(((4)/(3))) - ln |x|]_1^8 :.

int_1^8 root(3)(x) - (1)/(x) d x = [(3)/(4) * 8^(((4)/(3))) - ln 8 - (3)/(4) * 1 + ln 1] :.

int_1^8 root(3)(x) - (1)/(x) d x = (45)/(4) - ln 8

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(45)/(4) - ln 8

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