Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x   t g   π x / 2

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x tan ⁡   π x / 2

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o x :

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x tan ⁡   π x / 2 = 0 - ∞

Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo   0 0 ou ∞ ∞ , não é o nosso caso.

Passo 2

Mas vamos tentar manipular nosso limite para que tenhamos 0 0 ou ∞ ∞ .

tan ⁡ π x 2 = 1 cot ⁡ π x 2

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x tan ⁡   π x / 2

= lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cot ⁡ π x 2 = 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Pela regra de L'Hôspital temos que:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Para isso vamos reescrever o nosso limite:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cot ⁡ π x 2

Derivando, temos que:

g ' x = d ln ⁡ x d x = 1 x

h ' x = d cot ⁡ π x 2 d x = - π 2 c o s s e c 2 π x 2

Substituindo:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cot ⁡ π x 2 = l i m x → 1 + 1 x - π 2 c o s s e c 2 π x 2

Podemos dar aquela arrumadinha na expressão e lembrando que   c o s s e c   x = 1 sin ⁡ x :

l i m x → 1 + 1 x - π 2 c o s s e c 2 π x 2 = - 2 π   l i m x → 1 + sin 2 ⁡ π x 2 x

E finalmente resolver o limite:

2 π   l i m x → 1 + sin 2 ⁡ π x 2 x = - 2 π

Prontinho!

Resposta

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x   t g   π x / 2 = - 2 π

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