Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 72
Mostre que a função valor absoluto é contínua em toda parte.
Demonstre que se for uma função contínua em um intervalo, então também é.
A recíproca da afirmação da parte também é verdadeira? Em outras palavras, se for contínua, segue que também é? Se for assim, demonstre isso. Caso contrário, encontre um contraexemplo.
Passo 1
Fala aí, pessoal! 😎
Nesse problema foi dada algumas afirmações e nosso objetivo é julgar cada uma delas e provar ou refutá-la.
Veja só! 😉
Passo 2
No item a) temos que mostrar que a função valor absoluto é contínua em toda parte.
Bom, galera, nesse exercício queremos demonstrar que a função é contínua em toda parte. Para isso, iremos analisar os possíveis valores da função e entender seu comportamento.
Vamos pensar no que acontece com a função módulo pra diferentes valores de .
Para um número qualquer . Se
Dessa forma, para nossa função é contínua em todos os valores positivos.
Se
Dessa forma, para nossa função é contínua em todos os valores negativos.
Se
Assim, é contínua em toda parte.
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
No item b) teremos que provar que se a função for contínua em um intervalo, então também é.
E faremos isso usando uma propriedade do limite que diz que
Com isso, podemos passar o limite para dentro do módulo e teremos:
Dessa forma, se for contínua em um intervalo, então também é.
Legal, né? 😁
Passo 4
E para o item c) temos que provar que se recíproca da afirmação da parte b) também é verdadeira? Em outras palavras, se for contínua, segue que também é?
Aqui já podemos admitir que a recíproca não é verdadeira e uma função que pode exemplificar isso é a função
Perceba que função não é contínua para , mas é contínua em toda parte.
E aí! o que achou? Responde Aí! 😎
Resposta
a) é contínua
b)
c) Não é verdadeira