Mostre que a função valor absoluto é contínua em toda parte.

Demonstre que se for uma função contínua em um intervalo, então também é.

A recíproca da afirmação da parte também é verdadeira? Em outras palavras, se for contínua, segue que também é? Se for assim, demonstre isso. Caso contrário, encontre um contraexemplo.

No item a) temos que mostrar que a função valor absoluto é contínua em toda parte.

Bom, galera, nesse exercício queremos demonstrar que a função é contínua em toda parte. Para isso, iremos analisar os possíveis valores da função e entender seu comportamento.

Vamos pensar no que acontece com a função módulo pra diferentes valores de .

Para um número qualquer . Se

Dessa forma, para nossa função é contínua em todos os valores positivos.

Se

Dessa forma, para nossa função é contínua em todos os valores negativos.

Se

Assim, é contínua em toda parte.

Tranquilo até aqui? 😬

No item b) teremos que provar que se a função for contínua em um intervalo, então também é.

E faremos isso usando uma propriedade do limite que diz que

Com isso, podemos passar o limite para dentro do módulo e teremos:

Dessa forma, se for contínua em um intervalo, então também é.

Legal, né? 😁

E para o item c) temos que provar que se recíproca da afirmação da parte b) também é verdadeira? Em outras palavras, se for contínua, segue que também é?

Aqui já podemos admitir que a recíproca não é verdadeira e uma função que pode exemplificar isso é a função

Perceba que função não é contínua para , mas é contínua em toda parte.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎