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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 11

11- Determine o volume do tetraedro dado. (Sugestão: considere fatias perpendiculares às bordas rotuladas.

Passo 1

A forma mais simples de resolver essa equação seria com integrais triplas, onde traçaríamos

Coordenadas x,y e z paralelas na direção das linhas tracejadas e depois faríamos a análise separada para cada coordenada mas como o capítulo não é disso não adianta trazer esse raciocínio agora.

O raciocínio dessa questão é que se fatiarmos o tetraedro paralelo em relação aos coordenados em fatias bem finas, nós teremos fatias triangulares, de área igual a:

A = 1 2 × c a t e t o 1 × c a t e t o 2

Na figura abaixo cortamos o tetraedro e vemos que a base continua um triângulo porém com a os comprimentos proporcionais a 3,4 e 5.

Inicialmente esse triângulo tem uma relação entre base e altura de:

b h = 3 4

Além de a reta de base ser a reta que está no triângulo com os lados 5 e 4. De tal forma que temos os pontos ( 5,0 ) e ( 0,4 ) : ( poderíamos pegar qualquer duas retas formadas por esses vértices)

O que nos dá a reta:

y = m x + b

4 = m 0 + b → b = 4

0 = m 5 + 4 → m = - 4 5

Reta de base= - 4 5 x + 4 - equação do lado 2

Reta de altura: 3 4 - 4 5 x + 4 = - 3 5 x + 3 - equação do lado1

Passo 2

A área desse triângulo formado é:

A = 1 2 - 4 5 x + 4 - 3 5 x + 3 = 6 25 x 2 - 12 5 x + 6

Agora falta integrar para encontrar nosso volume. O intervalo será de 0 a 5 pois é o comprimento de lado 5 que é a variação de x para essas duas retas.

Passo 3

V = ∫ 0 5 6 25 x 2 - 12 5 x + 6 d x

V = 6 75 x 3 - 12 10 x 2 + 6 x 0 5 = 10

Resposta

V = 10

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