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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 10

10. y = sqrt(x^3) , d e P_0 (0,0) a t e P_1 ( 4,8 )

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = sqrt(x^3)

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x^3)) * 3 x^2 = (3)/(2) * x^2 * x^(- (3)/(2)) = (3)/(2) x^((1)/(2))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((3)/(2) x^((1)/(2)))^2

= 1 + (9)/(4) x

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = (0,0) -> ( 4,8 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 4.

s = int_0^4 sqrt(1 + (9)/(4) x) d x

= int_0^4 (1 + (9)/(4) x)^((1)/(2)) d x

u = (9 x)/(4) + 1

d u = (9)/(4) d x

= (4)/(9) sqrt(u) d u

(4)/(9) * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (8)/(27) * u^((3)/(2))

Voltando a variável, temos:

= (8)/(27) * ((1 + (9)/(4) x)^((3)/(2))|_0^4

= (8)/(27) . ( 10 sqrt(10) - 1 )

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é (8)/(27) . ( 10 sqrt(10) - 1 )

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