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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 11

11. y = 4 sqrt(x^3) + 2 d e P_0 (0,2) a t é P_1 ( 1,6 ) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = sqrt(x^3)

(d y)/(d x) = (4)/(2 sqrt(x^3)) * 3 x^2 = (12)/(2) * x^2 * x^(- (3)/(2)) = 6 x^((1)/(2))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + (6 x^((1)/(2)))^2

= 1 + 36 x

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = (0 , 2) -> ( 1 , 6 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 1.

s = int_0^1 sqrt(1 + 36 x) d x

((1 + 36 x)^((3)/(2)))/((3)/(2)) * (1)/(36)

(1 + 36 x)^((3)/(2)) * (1)/(54)

= (1 + 36 x)^((3)/(2)) ((1)/(54)|_0^1

= (1)/(54) (37 sqrt(37) - 1)

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é (1)/(54) (37 sqrt(37) - 1) .

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