12 - y' = (y^2 + 2ty) / (3 + t^2) , y(0) = 0,5 .

Passo 1

  1. O problema do valor inicial é:
  2. y ' = ( 4 - t y ) / ( 1 + y 2 ) , y 0 = - 2 .

    Temos então que y 0 = y 0 = 2 . Use o método Runge-Kutta para calcular os valores iniciais y 1 , y 2 , y 3 . Cada etapa do método é dada por:

    y n + 1 = y n + h 6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )

    Onde,

    k 1 = f ( t n , y n )

    k 2 = f t n + h 2 , y n + h k 1 2

    k 3 = f t n + h 2 , y n + h k 2 2

    k 4 = f ( t n + 1 , y + h k 3 )

    Use o método de previsão e correção de quarta ordem para calcular os valores restantes. O método é dado por:

    y n + 1 = y n + h 24 55 f n - 59 f n - 1 + 37 f n - 2 - 9 f n - 3

    Para f n + 1 = f ( t n + 1 , y n + 1 ) , a fórmula de correção se torna:

    y n + 1 = y n + h 24 9 f ( t n + 1 , y n + 1 ) + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

    Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h   =   0,05 são mostrados na tabela abaixo.

    Passo 2

  3. A etapa do método Adams-Moulton de quarta ordem é a seguinte:
  4. y n + 1 = y n + h 24 9 f n + 1 + 19 f n - 5 - 5 f n - 1 + f n - 2

    Substituindo a expressão acima por f n + 1 , temos:

    y n + 1 = y n + h 24 9 y 2 + 2 t y / ( 3 + t 2 ) + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2

    Um método para resolver essa equação  y n + 1 é usar o método de Newton, que é um método iterativo para encontrar raízes. Vamos então definir uma função.

    F y n + 1 = y n + h 24 9 y 2 + 2 t y / ( 3 + t 2 ) + 19 f n - 5 f n - 1 + f n - 2 - y n + 1

    A aproximação de Euler nos fornece que y n + 1 é a raiz de F. Portanto, uma boa primeira aproximação para y n + 1 é y n , então vamos supor que y n + 1 = y n . Cada aproximação sucessiva de y n + 1 é calculada com a fórmula abaixa:

    y n + 1 k + 1 = y n + 1 k - F y n + 1 k F ' ( y n + 1 k )

    A iteração será contínua até que a solução venha a convergir. Para implementar o método de Newton, é necessário conhecer a derivada de  F :

    F ' y n + 1 = 9 h 2 4 y n + 1 + t n + 1 / ( 3 + t n + 1 2 )   - 1

    Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h   =   0,05 são mostrados na tabela abaixo.

    Passo 3

  5. Cada etapa do método da diferença inversa de quarta ordem é a seguinte:

y n + 1 = 1 25 [ 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h f ( t n + 1 , y n + 1 ) ]

Substituía a expressão por f n + 1 .

y n + 1 = 1 25 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h y 2 + 2 t y / ( 3 + t 2 )

Novamente, isso pode ser resolvido usando o método de Newton. Nesse caso, as funções  F F ' são:

F y n + 1 = 1 25 48 y n - 36 y n - 1 + 16 y n - 2 - 3 y n - 3 + 12 h y 2 + 2 t y / ( 3 + t 2 ) - y n + 1

F ' y n + 1 = 2 4 h 25 y n + 1 + t n + 1 / ( 3 + t n + 1 2 ) - 1

Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h   =   0,05 são mostrados na tabela abaixo.

Resposta

a

c)

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