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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 16

16 - Deduza a fórmula inversa de diferenciação de segunda ordem dada pela Eq. (15)

Passo 1

Vamos supor que,

y ' = f ( t , y )

Vamos aproximar y de uma função polinomial de t de ordem 2:

y t = P 2 t = A t 2 + B t + C

Existem três constantes a serem determinadas, portanto são necessárias três equações para determiná-las. A Primeira é t n + 1 :

y n + 1 = A t n + 1 2 + B t n + 1 + C

= A t n 2 + 2 h t n + h 2 + b t n + h + C

A segunda é t n :

y n = A t n 2 + B t n + C

Por fim, a terceira é t n - 1 :

y n - 1 = A t n - 1 2 + B t n - 1 + C

= A t n 2 - 2 h t n + h 2 + b t n - h + C

Passo 2

Agora que temos as três equações, precisamos escrevê-las como um sistema linear.

  t n + 1 2 t n + 1 1 t n 2 t n 1 t n - 1 2 t n - 1 1 a b c = y n + 1 y n y n - 1

Inverta a matriz para resolver A , B   e   C :

a b c = 1 2 h 2   1 - 2 1 h - 2 t n 4 t n - h - 2 t n t n 2 - h t n - 2 ( t n 2 - h 2 ) t n 2 + h t n y n + 1 y n y n - 1

= 1 2 h 2 y n + 1 - 2 y n + y n - 1 h - 2 t n y n + 1 + 4 t n y n - h + 2 t n y n - 1 t 2 - h t n y n + 1 - 2 t n 2 - h 2 y n + t n 2 + h t n y n - 1

Passo 3

Agora precisamos da aproximação para satisfazer a equação diferencial:

f t n + 1 , y n + 1 = P 2 ' t n + 1 = 2 a t n + 1 + b

= 2 t n + 1 y n + 1 - 2 y n + y n + 1 + h - 2 t n y n + 1 + 4 t n y n - h + 2 t n y n + 1 2 h 2

= 2 t n + 1 + h - 2 t n y n + 1 + - 4 t n + 1 + 4 t n y n + 2 t n + 1 - h - 2 t n y n - 1 2 h 2

= 3 y n + 1 - 4 y n + y n - 1 2 h

Resolvendo para y n + 1 :

2 h f t n + 1 , y n + 1 = 3 y n + 1 - 4 y n + y n - 1

y n + 1 = 1 3 [ 4 y n - y n - 1 + 2 h f t n + 1 , y n + 1 ]

Resposta

y n + 1 = 1 3 [ 4 y n - y n - 1 + 2 h f t n + 1 , y n + 1 ]

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