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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 10

10. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = e 2

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... queremos encontrar a primitiva mais geral da seguinte função:

f x = e 2

Bom... A primitiva de uma função é uma função cuja derivada é igual à função original.

Em outras palavras, se F ( x ) é a primitiva de uma função f ( x ) , então a derivada de F ( x ) em relação a x é f x .

Nesse caso nossa função é uma constante, então para obter sua primitiva podemos aplicar a regra inversa da regra da potência.

a x n → a x n + 1 n + 1 + C

Quando   n   ≠ - 1 , e C é uma constante que temos que acrescentar no resultado sempre que fazemos esse caminha inverso da derivada.

Podemos fazer isso afinal:

x 0 = 1

Então podemos dizer que a nossa função é:

f x = e 2 x 0

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a regrinha que vimos no passo 1, temos:

F x = e 2 ⋅ x 0 + 1 0 + 1 + C

Arrumando as coisas, temos:

F x = e 2 x + C

Show?

Passo 3

Agora vamos derivar F para conferir o resultado...

Pela regra da potência:

F ' x = 1 ⋅ x 1 - 0 e 2 + C

Então,

F ' x = e 2

Dessa forma, como F ' x = f ( x ) , provamos que F x é uma função primitiva de f x .

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

F x = x e 2 + C

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Calcule.int (x + (1)/(x^3)) d x
Calcule.int (1)/(x^2) d x
Calcule.int (x^2 + x + 1) d x
Calcule.int (3 x + 1) d x