Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 7
7- Seja f: R R derivável até segunda ordem e tal que f´´(x) – f(x) = 0
a)Prove que g (x) = , x R, é constante.
b) Prove que existe uma constante A tal que para todo x, = 0
c) Conclua de b que existe uma outra constante B tal que f(x) = A , para todo x.
Passo 1
a)Galera, primeiro vamos derivar a função g(x) :
g´(x) =
Agora vamos arrumar essa coisa:
g´(x) = +
Gente, vamos utilizar a condição inicial que vai dar bom :
g´(x) = +
Caraaaaaa, corre pro abraço e vai ser feliz porque a derivada deu zerooooo!!!
Isso quer dizer que para qualquer x a função é constante.
Passo 2
b) A primeira coisa a se fazer aqui é derivar a função:
Vamos arrumar pra ficar mais bonitinho ;)
Agora nós podemos usar o resultado da letra a e admitir – 2 A como a função g, que nós já provamos ser uma função constante. Então vamos lá!
Só pra lembrar: g (x) =
Acho que vocês já perceberam o que nós vamos fazer né ?!
= 0
Pronto, acabamos de provar que existe uma constante A que atenda a condição imposta pelo problema.
Passo 3
c)Fazendo B =
Temos que :
B f(x) -
Isso quer dizer que :
f(x) = B
Essa nem doeu né ?! ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)