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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 11

11. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

G x = c o t g 2 x

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de G ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x f x 2 = 2 ⋅ f x ⋅ f ´ x

d d x   f x ⋅ g x = f ´ x ⋅ g x + f x ⋅ g ´ ( x )

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

d d x c o t g x = - c o s s e c 2 x

d d x c o s s e c x = - c o s s e c ⋅ c o t g x

Agora ficou fácil derivar G ( x ) , olha só:

G x = c o t g 2 x

G ´ x = 2 ⋅ c o t g x ⋅ - c o s s e c 2 x = - 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c 2 x

Passo 2

Para encontrar G ´ ´ ( x ) basta derivar G ´ ( x ) , usaremos a regra do produto. Assim:

G ´ x = - 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c 2 x

d d x G ´ = G ´ ´ x = - 2 ⋅ - c o s s e c 2 x ⋅ c o s s e c 2 x + c o t g x ⋅ 2 ⋅ c o s e c x ⋅ ( - c o s s e c x ⋅ c o t g x )

= - 2 ( - c o s s e c 4 x - 2 ⋅ c o s s e c 2 x ⋅ c o t g 2 x )

Resposta

G ´ x = - 2 ⋅ c o t g x ⋅ c o s s e c 2 x

G ´ ´ ( x ) = - 2 ( - c o s s e c 4 x - 2 ⋅ c o s s e c 2 x ⋅ c o t g 2 x )

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