Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 11
11. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8. Ache a taxa segundo a qualo raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro.
Passo 1
Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:
- Leia cuidadosamente o problema.
- Se possível, faça um diagrama.
- Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
- Escreva uma equação que relacione as variáveis.
- Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
- Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.
Variaveis:
V – volume
D –Diâmetro
r- raio
Interpretando os dados que a questão deu:
.
Ele pede a taxa de crescimento do raio, isto é, quando o diâmetro for 4 ou, pois .
Passo 2
Precisamos encontrar uma fórmua que relacione volume da esfera com o seu raio, mas aí é muito simples, é só lembrarmos da fórmula do volume da esfera:
Passo 3
Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.
Derivando em ambos os lados em relação a t:
é constante então pode sair da derivada,
Passo 4
O que queremos é , então isolando isso:
Substituimos o que temos aqui:
Logo,