Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 23
Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.
23. Algumas doenças (como tifo) são disseminadas por portadores, indivíduos que podem transmitir a doença, mas que não exibem sintomas aparentes. Sejam e , respectivamente, as proporções de suscetíveis e portadores na população. Suponha que os portadores são identificados e removidos da população a uma taxa , de modo que
(i)
Suponha, também, que a doença se espalha a uma taxa proporcional ao produto de e ; logo
(ii)
(a) Determine em qualquer instante de tempo resolvendo a Eq. (i) sujeita à condição incial .
(b) Use o resultado do item (a) para encontrar em qualquer instante resolvendo a Eq.(ii) sujeita à condição incial
(c)Encontre a proporção da população que escapa da epidemia calculando o valor limite de quando .
Passo 1
Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...
Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.
Passo 2
(a) A resolução da primeira equação não é complicada. Tome pela ideia de separação de variáveis que
Já que se trata de um problema de fator inicial, temos que
Assim temos como solução do nosso problema
Passo 3
(b) Agora temos a solução (ii) que é dada por
Agora usando a mesma técnica do item anterior
Resolvendo nossa equação, temos
Assim temos que
Agora resolvendo o problema de valor inicial onde
Temos que
Então temos como solução
Passo 4
(c) Quanto tendemos nosso valor