Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 11
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de linearização, vamos lá!
A questão nos dá uma função e pede para provar que ela é diferenciável no ponto . Mas como provamos isso?
Para a função ser diferenciável em ela precisa ter as derivadas parciais e contínuas nesse ponto! Além disso, as derivadas e nos pontos próximos de também precisam existir!
E de brinde a questão também pede para encontrarmos a linearização (ou aproximação linear) da função nesse ponto.
Essa linearização da função no ponto é dada pela seguinte fórmula:
Então nosso checklist será:
Encontrar as derivadas parciais e da função;
Provar que são contínuas em ;
Provar que existem para os pontos próximos de ;
E, por fim, montar nossa equação geral de .
Passo 2
Para encontrar , tratamos como constante e derivamos a função em
De forma que:
Onde, utilizando as regras do produto e da cadeia, chegamos em:
Substituindo o ponto
E com isso concluímos que é contínua no ponto!
Além disso, só existe para todo ponto (caso contrário teríamos uma divisão por zero) então existe nas redondezas de !
Da mesma forma, para encontrar , tratamos como constante e derivamos a função em
De forma que:
Onde, utilizando a regra da cadeia, chegamos em:
Substituindo o ponto
E com isso concluímos que é contínua no ponto!
E da mesma forma que , também só existe para todo ponto , o suficiente para provar que está definida nas redondezas de !
Cumpridas as condições, fica provado que é diferenciável no ponto dado.
Passo 3
Agora precisamos montar a nossa equação ! Já temos quase todos os valores, só precisamos calcular
De forma que:
Sendo assim, nossa linearização será: