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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 46

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cone sólido x 2 + y 2 ≤ z ≤ h .

Passo 1

Fala, pessoal! De boas?

A questão pede para acharmos o momento de inércia em relação ao eixo z do cone:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ h

Supondo que esse cone tenha densidade constante igual a k .

O momento de inércia de um sólido em relação ao eixo z I z   pode ser calculado pela integral:

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Onde E é a região no plano x y abaixo do nosso cone. ρ x , y , z é a função densidade, que já foi dada no enunciado.

ρ x , y , z = k

Então, o que falta para calcularmos nossa integral tripla são nossos limites de integração para x , y e z , que vamos encontrar pela descrição do cone que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar achando nossos limites de integração.

  • Em z : essa parte é direta, já que o próprio enunciado nos diz que

    • x 2 + y 2 ≤ z ≤ h

    Então essa é a variação de z .

  • Em x e y :

    • As variações de x e y são dadas por

    x 2 + y 2 ≤ h

    Aplicando a raiz quadrada na inequação, ficamos com:

    x 2 + y 2 ≤ h 2

    Perceba como essa é uma descrição de uma circunferência. Como temos no plano x y uma região circular, vamos expressar esses intervalos em coordenadas polares.

  • r : é o raio da circunferência, que conseguimos ver na equação que é h . Como a circunferência está na origem ficamos com:

    • 0 ≤ r ≤ h

  • θ : é o ângulo interno da nossa região. Como temos uma circunferência completa, nosso ângulo parte do zero e vai até o ângulo máximo 2 π :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora que já temos nossos limites, é só montarmos nossa integral. Como a densidade é

ρ x , y , z = k

Vamos substituir na integral, já colocando nossa constante k para fora:

= k ∭ E x 2 + y 2   d V

Temos que:

d V = d z   d A

Então vamos colocar os limites de integração de z :

= k ∬ D ∫ x 2 + y 2 h x 2 + y 2 d z d A

Como já temos a integral de z “por dentro”, a gente já pode resolver ela, tratando x e y como constante:

= k ∬ D x 2 + y 2 z x 2 + y 2 h d A

Aplicando os limites de integração em z   ficamos com:

= k ∬ D x 2 + y 2 h - x 2 + y 2 d A

Passo 4

Agora precisamos escrever nossa integral de x e de y , que será em coordenadas polares, onde:

d A = r   d r   d θ

Fazemos a substituição:

x 2 + y 2 = r 2

Aplicando a raiz quadrada na equação, ficamos com:

x 2 + y 2 = r

Substituindo na nossa integral, temos:

k ∬ D x 2 + y 2 h - x 2 + y 2 d A = k ∫ 0 2 π ∫ 0 h r 2 ( h - r ) r   d r d θ

Multiplicando os r de fora dos parênteses:

= k ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( h r 3 - r 4 ) d r d θ

Integrando em r :

= k ∫ 0 2 π h r 4 4 - r 5 5 0 h d θ

Aplicando os limites de integração:

= k ∫ 0 2 π h 5 4 - h 5 5 d θ

Finalmente integrando em relação a θ :

= k h 5 4 - h 5 5 ⋅ θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

= k ⋅ h 5 4 - h 5 5 ⋅ 2 π

Simplificamos, fazemos a subtração de frações dentro dos parênteses e ficamos com nosso momento de inércia I z como:

I z = π k h 5 10

Resposta

I z = π k h 5 10

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