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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 3

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .

3. z = s e n   x ⋅ cos ⁡ y ,   x = t ,   y = 1 t

Passo 1

Seguinte, pessoal... A questão nos deu a função

z = s e n   x ⋅ cos ⁡ y

onde   x = t   e y = 1 t , e quer que a gente calcule d z d t ou d w d t .

Para encontrarmos d z d t , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Nosso trabalho será calcular todas essas derivadas.

Vamos lá...

Passo 2

Queremos calcular

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

Vamos reescrever as expressões de z , x , y :

z = s e n   x ⋅ cos �� y

x = t

y = 1 t

Derivando, teremos:

∂ z ∂ x = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y

d x d t = 1 2 t

∂ z ∂ y = - s e n   x ⋅ s e n   y

d y d t = - 1 t 2

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

d z d t = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ⋅ 1 2 t + s e n   x ⋅ s e n   y ⋅ 1 t 2

∴ d z d t = t - 1 2 1 2 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y + s e n   x ⋅ s e n   y ⋅ t - 3 2

Resposta

d z d t = t - 1 2 1 2 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y + s e n   x ⋅ s e n   y ⋅ t - 3 2

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