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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 5

Calcule a integral.

5 . int (sqrt(x^2 - 1))/(x^4) d x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho? 😊

Nesse problema queremos calcular a integral

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^4) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = sec theta

=> theta = sec^(- 1) (x)

d x = tan theta sec theta d theta

Veja só! 😎

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^4) d x -> int (sqrt(( sec theta )^2 - 1))/(( sec theta )^4) tan theta sec theta d theta

int (tan theta)/(( sec theta )^4) tan theta sec theta d theta

int sin^2 theta cos theta d theta

Agora vamos fazer mais uma substituição da seguinte forma:

u = sin theta

d u = cos theta d theta

Temos que nossa integral fica:

int u^2 d u = (u^3)/(3)

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora precisamos voltar as substituições que fizemos. Tínhamos que:

u = sin theta

Então:

(sin^3 theta)/(3)

E temos que:

theta = sec^(- 1) x

Logo:

(sin^3 ( sec^(- 1) x ))/(3)

Para continuarmos, teremos que usar o seguinte resultado:

sin ( sec^(- 1) z ) = sqrt(1 - (1)/(z^2))

Usando isso ao nosso favor, teremos que:

(sin^3 (sec^(- 1) x))/(3) = (1)/(3) (sqrt(1 - (1)/(x^2)))^3

Portanto, finalmente chegamos em

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^4) d x = (1)/(3) (sqrt(1 - (1)/(x^2)))^3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

int (sqrt(x^2 - 1))/(x^4) d x = (1)/(3) (sqrt(1 - (1)/(x^2)))^3

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