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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 12

Calcule a integral.

1 2 . int_0^2 (d t)/(sqrt(4 + t^2))

Passo 1

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

t = 2 tan theta

=> theta = ta n^(- 1) ((x)/(2))

d t = 2 s ec^2 theta d theta

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

theta_1 = ta n^(- 1) ( 0 ) = 0

theta_2 = sin^(- 1) (1) = (pi)/(4)

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int_0^((pi)/(4)) (2 sec^2 theta)/(sqrt(4 + ( 2 tan theta )^2)) d theta

= int_0^((pi)/(4)) (2 sec^2 theta)/(sqrt(4 + 4 tan^2 theta)) d theta

= 2 int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta)/(2 sqrt(1 + tan^2 theta)) d theta

Lembrando que:

sec^2 theta = 1 + tan^2 theta

Logo, temos que:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta)/(sqrt(sec^2 theta)) d theta

= int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta)/(sec theta) d theta

= int_0^((pi)/(4)) sec theta d theta

Passo 3

Para continuar essa integração, vamos fazer um pequeno truque para facilitar nossa vida.

Vamos multiplicar nosso integrando, encima e embaixo por:

tan theta + s e c theta

Então temos o seguinte:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta + sec theta tan theta)/(tan theta + sec theta) d theta

Você deve estar se perguntando para que fazer isso, só deixou a integral mais feia, mas é o seguinte, a integral dessa forma nos abre espaço para fazer uma outra substituição, que é a seguinte:

s = tan theta + sec theta

d s = sec^2 theta + tan theta sec theta

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

s_1 = tan 0 + sec 0 = 1

s_2 = tan (pi)/(4) + sec (pi)/(4) = 1 + sqrt(2)

Passo 4

Realizando a substituição, nossa integral fica:

int_1^(1 + sqrt(2)) (1)/(s) d s

= ((ln s)|_1^(1 + sqrt(2))

= ln (1 + sqrt(2)) - 0

= ln (1 + sqrt(2))

Resposta

int_0^2 (d t)/(sqrt(4 + t^2)) = ln (1 + sqrt(2))

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