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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 9

Calcule a integral.

9 . int_2^3 (d x)/((x^2 - 1)^((3)/(2)))

Passo 1

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = sec theta

=> theta = sec^(- 1) (x)

d x = tan theta sec theta d theta

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

theta_1 = sec^(- 1) ( 2 ) = (pi)/(3)

theta_2 = sec^(- 1) ( 3 )

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (1)/(((sec theta)^2 - 1)^((3)/(2))) tan theta sec theta d theta

Agora lembrando que:

sec^2 theta - 1 = tan^2 theta

Ficamos com:

int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (1)/((tan^2 theta)^((3)/(2))) tan theta sec theta d theta

= int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (1)/(tan^3 theta) tan theta sec theta d theta

= int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (1)/(tan^2 theta) sec theta d theta

Abrindo um pouco a expressão:

= int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (cos^2 theta)/(sin^2 theta) (1)/(cos theta) d theta

Então finalmente, temos:

= int_((pi)/(3))^(sec^(- 1) (3)) (cos theta)/(sin^2 theta) d theta

Passo 3

Agora teremos que fazer mais uma substituição para facilitar mais ainda nossa vida. Vamos fazer assim:

u = sin theta

d u = cos theta d theta

Com isso nossos limites de integração mudam mais uma vez, ficando assim:

u_1 = sin ((pi)/(3)) = (sqrt(3))/(2)

u_2 = sin ( sec^(- 1) ( 3 ) ) = (2 sqrt(2))/(3)

Passo 4

Realizando a substituição, nossa linda integral fica assim:

int_((sqrt(3))/(2))^((2 sqrt(2))/(3)) (1)/(u^2) d u

Realizando a integral temos:

((- (1)/(s))|_((sqrt(3))/(2))^((2 sqrt(2))/(3))

= - (1)/((2 sqrt(2))/(3)) - (- (1)/((sqrt(3))/(2)))

= - (3)/(2 sqrt(2)) + (2)/(sqrt(3))

Se racionalizarmos essa expressão, temos:

= (2 sqrt(3))/(3) - (3 sqrt(2))/(4)

Resposta

int_2^3 (d x)/((x^2 - 1)^((3)/(2))) = (2 sqrt(3))/(3) - (3 sqrt(2))/(4)

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