Calcule a integral.

9 . ∫ 2 3 d x x 2 - 1 3 2

Passo 1

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = sec ⁡ θ

⇒ θ = sec - 1 ⁡ x

d x = tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

θ 1 = sec - 1 ⁡ ( 2 ) = π 3

θ 2 = sec - 1 ⁡ ( 3 )

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 1 sec ⁡ θ 2 - 1 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Agora lembrando que:

sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Ficamos com:

∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 1 tan 2 ⁡ θ 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 1 tan 3 ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 1 tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Abrindo um pouco a expressão:

= ∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 1 cos ⁡ θ   d θ

Então finalmente, temos:

= ∫ π 3 sec - 1 ⁡ 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Agora teremos que fazer mais uma substituição para facilitar mais ainda nossa vida. Vamos fazer assim:

u = sin ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

Com isso nossos limites de integração mudam mais uma vez, ficando assim:

u 1 = sin ⁡ π 3 = 3 2

u 2 = sin ⁡ ( sec - 1 ⁡ ( 3 ) ) = 2 2 3

Passo 4

Realizando a substituição, nossa linda integral fica assim:

∫ 3 2 2 2 3 1 u 2   d u

Realizando a integral temos:

- 1 s 3 2 2 2 3

= - 1 2 2 3 - - 1 3 2

= - 3 2 2 + 2 3

Se racionalizarmos essa expressão, temos:

= 2 3 3 - 3 2 4

Resposta

∫ 2 3 d x x 2 - 1 3 2 = 2 3 3 - 3 2 4

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