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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 23

Calcule a integral.

2 3 . int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x + 5))

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no denominador dela, mais especificamente em:

x^2 + 2 x + 5

Você concorda comigo que:

(x + 1)^2 + 4 = x^2 + 2 x + 5

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral então fica assim:

int (d x)/(sqrt((x + 1)^2 + 4))

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x + 1

d u = d x

Logo nossa integral fica:

int (d u)/(sqrt(u^2 + 4))

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = 2 tan theta

=> theta = tan^(- 1) ((u)/(2))

d u = 2 sec^2 theta d theta

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int (2 sec^2 theta)/(sqrt(4 + ( 2 tan theta )^2)) d theta

= int (2 sec^2 theta)/(sqrt(4 + 4 tan^2 theta)) d theta

= 2 int (sec^2 theta)/(2 sqrt(1 + tan^2 theta)) d theta

Lembrando que:

sec^2 theta = 1 + tan^2 theta

Logo, temos que:

int (sec^2 theta)/(sqrt(sec^2 theta)) d theta

= int (sec^2 theta)/(sec theta) d theta

= int sec theta d theta

Passo 4

Para continuar essa integração, vamos fazer um pequeno truque para facilitar nossa vida.

Vamos multiplicar nosso integrando, encima e embaixo por:

tan theta + s e c theta

Então temos o seguinte:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta + sec theta tan theta)/(tan theta + sec theta) d theta

Você deve estar se perguntando para que fazer isso, só deixou a integral mais feia, mas é o seguinte, a integral dessa forma nos abre espaço para fazer uma outra substituição, que é a seguinte:

s = tan theta + sec theta

d s = sec^2 theta + tan theta sec theta

Passo 5

Realizando a substituição, nossa integral fica:

int (1)/(s) d s

= ln s

Passo 6

Agora temos que voltar com as substituições que fizemos, vamos lá então:

s = tan theta + sec theta

=> ln ( tan theta + sec theta )

Agora com:

theta = tan^(- 1) ((u)/(2))

=> ln (tan (tan^(- 1) ((u)/(2))) + sec (tan^(- 1) ((u)/(2))))

Para continuar vamos notar que:

tan (tan^(- 1) ((u)/(2))) = (u)/(2)

Já que uma é função inversa da outra.

E notando também que:

sec (tan^(- 1) (z)) = sqrt(z^2 + 1)

Logo temos que nosso resultado fica da seguinte maneira:

ln ((u)/(2) + sqrt(((u)/(2))^2 + 1))

= ln ((u)/(2) + sqrt((u^2)/(4) + 1))

= ln ((u)/(2) + (1)/(2) sqrt(u^2 + 4))

Agora voltando mais substituição.

u = x + 1

=> ln ((1)/(2) (x + 1 + sqrt((x + 1)^2 + 4)))

Resposta

. int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x + 5)) = ln ((1)/(2) (x + 1 + sqrt((x + 1)^2 + 4)))

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