Calcule a integral.

2 3 . ∫ d x x 2 + 2 x + 5

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no denominador dela, mais especificamente em:

x 2 + 2 x + 5

Você concorda comigo que:

x + 1 2 + 4 = x 2 + 2 x + 5

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral então fica assim:

∫ d x x + 1 2 + 4

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x + 1

d u = d x

Logo nossa integral fica:

∫ d u u 2 + 4

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = 2 tan ⁡ θ

⇒ θ = tan - 1 ⁡ u 2

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 + ( 2 tan ⁡ θ ) 2   d θ

= ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 + 4 tan 2 ⁡ θ   d θ

= 2 ∫ sec 2 ⁡ θ 2 1 + tan 2 ⁡ θ   d θ

Lembrando que:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Logo, temos que:

∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

= ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Para continuar essa integração, vamos fazer um pequeno truque para facilitar nossa vida.

Vamos multiplicar nosso integrando, encima e embaixo por:

tan ⁡ θ + s e c θ

Então temos o seguinte:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ d θ

Você deve estar se perguntando para que fazer isso, só deixou a integral mais feia, mas é o seguinte, a integral dessa forma nos abre espaço para fazer uma outra substituição, que é a seguinte:

s = tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

d s = sec 2 ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ

Passo 5

Realizando a substituição, nossa integral fica:

∫ 1 s   d s

= ln ⁡ s

Passo 6

Agora temos que voltar com as substituições que fizemos, vamos lá então:

s = tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

⇒ ln ⁡ ( tan ⁡ θ + sec ⁡ θ )

Agora com:

θ = tan - 1 ⁡ u 2

⇒ ln ⁡ tan ⁡ tan - 1 ⁡ u 2 + sec ⁡ tan - 1 ⁡ u 2

Para continuar vamos notar que:

tan ⁡ tan - 1 ⁡ u 2 = u 2

Já que uma é função inversa da outra.

E notando também que:

sec ⁡ tan - 1 ⁡ z = z 2 + 1

Logo temos que nosso resultado fica da seguinte maneira:

ln ⁡ u 2 + u 2 2 + 1

= ln ⁡ u 2 + u 2 4 + 1

= ln ⁡ u 2 + 1 2 u 2 + 4

Agora voltando mais substituição.

u = x + 1

⇒ ln ⁡ 1 2 x + 1 + x + 1 2 + 4

Resposta

. ∫ d x x 2 + 2 x + 5 = ln ⁡ 1 2 x + 1 + x + 1 2 + 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados