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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3c

c) int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = c o s ( x )

Derivando,

d u = - sen ( x ) d x

Isolando o fator sen ( x ) d x , temos:

int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x = int (1)/(cos^5 (x)) * s e n (x) d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int (1)/(cos^5 (x)) * s e n (x) d x

Indo para variável u :

I = int (1)/(u^5) (- d u) = - int (d u)/(u^5)

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Integrando, temos:

I = - ((u^(- 5 + 1))/(- 5 + 1)) + c

Agora vamos fazer essas contas:

I = (u^(- 4))/(4) + c = (1)/(4 * u^4) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = (1)/(4 * cos^4 ( x )) + c

Resposta

(1)/(4 * cos^4 ( x )) + c

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