Enunciado

2. Seja f x uma função contínua.

b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral

∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ f c o s x ⋅ sen ⁡ x d x

Passo 2

Fazendo a substituição que ele indica, temos:

u = c o s ( x )

Derivando,

d u = - sen ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ f c o s x ⋅ sen ⁡ x d x

Indo para variável u :

I = ∫ f u ⋅ - d u

Tirando o -1 da integral:

I = - ∫ f u d u

Portanto,

∫ f c o s x ⋅ sen ⁡ x d x   vira - ∫ f u   d u quando fizemos a substituição   u = c o s ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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