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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3a

a) int cos (x) root(3)(s e n (x)) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int cos (x) * root(3)(s e n (x)) d x = int root(3)(s e n (x)) * cos (x) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = cos (x) d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int root(3)(s e n (x)) * cos (x) d x

Indo para variável u :

I = int root(3)(u) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Logo,

I = (u^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1) + c = (3)/(4) * u^((4)/(3)) + c = (3)/(4) * root(3)(u^4) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = (3)/(4) * root(3)(s e n^4 (x)) + c

Resposta

(3)/(4) * root(3)(s e n^4 (x)) + c

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