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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 44

37-48. Calcule a integral.

44. int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

1 + e^x + e^(2 x) = 1 + y + y^2

Aqui, para facilitar, escrevemos y = e^x , ok? Depois que completarmos o quadrado, voltamos à nossa variável original, belê? Show! Continuando, teremos:

1 + y + y^2 = y^2 + y + (1)/(4) + (3)/(4)

y^2 + y + (1)/(4) + (3)/(4) = (y + (1)/(2))^2 + (3)/(4)

Ou seja:

1 + e^x + e^(2 x) = (e^x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)

Substituindo na nossa integral:

int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x = int (e^x)/(sqrt((e^x + (1)/(2))^2 + (3)/(4))) d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Aqui vamos utilizar a seguinte substituição simples:

u = e^x + (1)/(2)

Disso tiramos:

d u = e^x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (e^x)/(sqrt((e^x + (1)/(2))^2 + (3)/(4))) d x = int (d u)/(sqrt(u^2 + (3)/(4)))

Essa integral é uma integral conhecida, por mais que não seja tããão usual assim, galera. A função que quando derivada resulta nesse integrando é:

int (d u)/(sqrt(u^2 + (3)/(4))) = sinh^(- 1) ((u)/(a)) + C

Como u = e^x + (1)/(2) , teremos:

int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x = sinh^(- 1) ((2 e^x + 1)/(sqrt(3))) + C

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x = sinh^(- 1) ((2 e^x + 1)/(sqrt(3))) + C

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