37-48. Calcule a integral.

44. ∫ e x 1 + e x + e 2 x d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

1 + e x + e 2 x = 1 + y + y 2

Aqui, para facilitar, escrevemos y = e x , ok? Depois que completarmos o quadrado, voltamos à nossa variável original, belê? Show! Continuando, teremos:

1 + y + y 2 = y 2 + y + 1 4 + 3 4

y 2 + y + 1 4 + 3 4 = y + 1 2 2 + 3 4

Ou seja:

1 + e x + e 2 x = e x + 1 2 2 + 3 4

Substituindo na nossa integral:

∫ e x 1 + e x + e 2 x d x = ∫ e x e x + 1 2 2 + 3 4 d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Aqui vamos utilizar a seguinte substituição simples:

u = e x + 1 2

Disso tiramos:

d u = e x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ e x e x + 1 2 2 + 3 4 d x = ∫ d u u 2 + 3 4

Essa integral é uma integral conhecida, por mais que não seja tããão usual assim, galera. A função que quando derivada resulta nesse integrando é:

∫ d u u 2 + 3 4 = sinh - 1 ⁡ u a + C

Como u = e x + 1 2 , teremos:

∫ e x 1 + e x + e 2 x d x = sinh - 1 ⁡ 2 e x + 1 3 + C

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

∫ e x 1 + e x + e 2 x d x = sinh - 1 ⁡ 2 e x + 1 3 + C

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