37-48. Calcule a integral.44. int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x

int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x = sinh^(- 1) ((2 e^x + 1)/(sqrt(3))) + C

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 44

37-48. Calcule a integral.

44.

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

Aqui, para facilitar, escrevemos , ok? Depois que completarmos o quadrado, voltamos à nossa variável original, belê? Show! Continuando, teremos:

Ou seja:

Substituindo na nossa integral:

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Aqui vamos utilizar a seguinte substituição simples:

Disso tiramos:

Substituindo na nossa integral, teremos:

Essa integral é uma integral conhecida, por mais que não seja tããão usual assim, galera. A função que quando derivada resulta nesse integrando é:

Como , teremos:

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

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