Calcule.

∫ 1 x 2 1 + x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral amos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 + x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 1 tg ⁡ θ = tg ⁡ θ → θ = arctg ⁡ x

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

∫ 1 x 2 1 + x 2   d x = ∫ 1 tg 2 ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ

Usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 tg 2 ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 1 tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ   d θ

Passo 2

Agora vamos colocar tudo em termos de seno e cosseno:

∫ sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ

Vamos fazer uma última substituição:

v = sen ⁡ θ

d v = cos ⁡ θ d θ

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 v 2   d v

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 1 v 2   d v = ∫ v - 2   d v = v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = v - 1 - 1 + C = 1 v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ 1 x 2 1 + x 2 d x = 1 v + C = 1 sen ⁡ θ + C = 1 sen ⁡ arctg ⁡ x + C

Resposta

∫ 1 x 2 1 + x 2 d x = 1 sen ⁡ arctg ⁡ x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados