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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4c

Calcule.

int (1)/(1 + sqrt(x)) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = 1 + sqrt(x) -> sqrt(x) = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + (1)/(2) x^(- (1)/(2)) d x -> d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x

Fazendo a substituição:

int (1)/(1 + sqrt(x)) d x = int (1)/(u) 2 sqrt(x) d u = int (1)/(u) 2 (u - 1) d u = 2 int (u - 1)/(u) d u

Agora vamos separar os termos da expressão da integral:

2 int (u - 1)/(u) d u = 2 int (u)/(u) - (1)/(u) d u = 2 int 1 - (1)/(u) d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

2 int 1 - (1)/(u) d u = 2 (1 * u - ln |u|) + C = 2 (u - ln |u|) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int (1)/(1 + sqrt(x)) d x = 2 (u - ln |u|) + C = 2 (1 + sqrt(x) - ln |1 + sqrt(x)|) + C

Resposta

int (1)/(1 + sqrt(x)) d x = 2 (1 + sqrt(x) - ln |1 + sqrt(x)|) + C

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