Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 35
Encontre a área da superfície gerada quando a curva do Exercício 34 gira em torno do eixo .
Passo 1
Então galera, a curva do Exercício 34 é a seguinte função:
Show! Para calcularmos a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo devemos utilizar a seguinte relação, assim como visto na seção 6.5 do Anton, saca só:
No qual é a derivada da curva em questão! Sendo assim, a integral que devemos calcular é:
Então vamos pra cima!
Passo 2
Para resolvermos essa integral que estabelecemos no passo anterior, vamos utilizar uma substituição trigonométrica do tipo:
Pois a raíz que aparece pra gente é do tipo:
Se compararmos essa raíz acima com a que aparece no nosso integrando, teremos:
E disso tiramos que:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Utilizando a relação trigonométrica e simplificando o que for possível, teremos que:
Utilizando a relação novamente, teremos:
Passo 3
A integral acima nos cede como resultado o seguinte, pessoal:
Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 2 conseguimos modificar o intervalo de integração, se liga:
Agora para o intervalo inferior:
Então nossos intervalos viraram:
Aplicando esses intervalos, teremos que a área da superfície gerada será:
E esse é o nosso resultado! 😉