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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 8

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

8.

int sqrt(1 - 9 t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

t = (1)/(3) s e n ѳ d t = (1)/(3) cos ѳ d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

int sqrt(1 - 9 t^2) = int sqrt(1 - 9 ((1)/(3) s e n ѳ)^2) * (1)/(3) cos ѳ d ѳ

Isso fica

(1)/(3) int sqrt(1 - s e n^2 ѳ) * cos ѳ d ѳ

Passo 3

Mas sabemos que

sqrt(1 - s e n^2 ѳ) = cos ѳ

Então

(1)/(3) int sqrt(1 - s e n^2 ѳ) * cos ѳ d ѳ = (1)/(3) int cos ѳ * cos ѳ d ѳ = (1)/(3) int c o s^2 ѳ d ѳ

Passo 4

Mas sabemos que

c o s^2 ѳ = (1 + cos 2 ѳ)/(2)

Então

(1)/(3) int c o s^2 ѳ d ѳ = (1)/(3) int (1 + cos 2 ѳ)/(2) d ѳ = (1)/(3) * [int (1)/(2) d ѳ + int (cos 2 ѳ)/(2) d ѳ]

Passo 5

Agora é só calcular a integral

(1)/(3) * [int (1)/(2) d ѳ + int (cos 2 ѳ)/(2) d ѳ] = (1)/(3) * [(1)/(2) ѳ + (1)/(2) * s e n ѳ * cos ѳ] + C

Passo 6

Mas sabemos que

t = (1)/(3) s e n ѳ

Então

ѳ = a r c s e n (3 t)

Então nosso resultado fica

(1)/(3) * [(1)/(2) a r c s e n (3 t) + (1)/(2) * s e n (a r c s e n (3 t)) * cos (a r c s e n (3 t))] + C

Isso vai ficar

(1)/(6) * [a r c s e n (3 t) + 3 t * sqrt(1 - 9 t^2)] + C

Resposta

(1)/(6) * [a r c s e n (3 t) + 3 t * sqrt(1 - 9 t^2)] + C

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