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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 5

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

5.

int_0^((3)/(2)) (d x)/(sqrt(9 - x^2))

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

x = 3 s e n ѳ d x = 3 c o s ѳ d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

int (1)/(sqrt(9 - 9 s e n^2 ѳ)) 3 cos ѳ d ѳ

Passo 3

Agora podemos colocar o 3 em evidência

int (1)/(3 sqrt(1 - s e n^2 ѳ)) 3 cos ѳ d ѳ = int (cos ѳ)/(sqrt(1 - s e n^2 ѳ)) d ѳ

Passo 4

Mas sabemos que

sqrt(1 - s e n^2 ѳ) = cos ѳ

Então

int (cos ѳ)/(sqrt(1 - s e n^2 ѳ)) d ѳ = int (cos ѳ)/(cos ѳ) d ѳ = int d ѳ

Então o resultado da integral é

int d ѳ = ѳ

Passo 5

Mas sabemos que

x = 3 s e n ѳ

Então

ѳ = a r c s e n ((x)/(3))

Logo

ѳ = [a r c s e n ((x)/(3))]_0^((3)/(2)) = a r c s e n ((1)/(2)) - a r c s e n (0) = (pi)/(6) - 0 = (pi)/(6)

Resposta

(pi)/(6)

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a)int cos^2 (5 x) d x
h)int cos (x) cos^2 (4 x) d x
e)int s e n^2 ( x ) cos^4 (x) d x
f) int (cos (x))/(1 + s e n^2 (x)) d x
2. Seja f x uma função contínua. b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u