Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 1
Determine se a função dada é par, ímpar, ou nenhuma das duas.
Passo 1
Nosso primeiro passo para resolver o exercício é relembrar o conceito de função par e função ímpar.
Uma função par é uma equação em que:
Para todo contido no domínio de .
Por outro lado, uma função ímpar é definida como:
Para todo contido no domínio de .
Vamos agora ver uma propriedade de funções pares e ímpares. Quando somamos duas funções pares, o resultado será uma nova função par.
Por outro lado, quando somamos duas funções ímpares, temos uma nova função ímpar.
E, finalmente, se somamos uma função par e uma ímpar, teremos uma função que não é par, nem ímpar.
Com estes conceitos em mente, vamos analisar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Tudo bem?
Passo 2
Temos a função:
Podemos reescrevê-la como uma soma de funções:
Em que
Vamos analisar as funções e separadamente para ver se são pares ou ímpares.
Então
E, portanto é ímpar.
Para :
Assim,
e, também é uma função ímpar.
Passo 3
Definimos a função como uma soma das funções e . Pela propriedade de soma de funções ímpares, se e são duas funções ímpares, a soma das duas também é uma função ímpar. Então, é ímpar.
Resposta
Ímpar.