Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y = 1 x 2 + 1 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 (m/s). Qual a velocidade de y no instante em que x = 10 m ?

Passo 1

Como y é uma função de x que por sua vez é uma função do tempo t , temos que derivar implicitamente, pela regra da cadeia, toda a função:

d y d t = d y d x ⋅ d x d t

d y d t = d d x 1 x 2 + 1 d x d t

Como

d d x 1 x 2 + 1 = d d x x 2 + 1 - 1 = - 1 ⋅ x 2 + 1 - 2 ⋅ 2 x

d d x 1 x 2 + 1 = - 2 x x 2 + 1 2

Passo 2

Temos então que:

d y d t = d d x 1 x 2 + 1 d x d t

d y d t = - 2 x x 2 + 1 2 d x d t

Se sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 (m/s), temos que d x d t = 5 .

Assim, para x = 10 m , temos:

d y d t = - 2 x x 2 + 1 2 d x d t

d y d t = - 2 ⋅ 10 10 2 + 1 2 ⋅ 5

d y d t = - 100 101 2

Logo, a velocidade de y nesse instante é de - 100 101 2 (m/s).

Resposta

A velocidade de y nesse instante é de - 100 101 2 (m/s).

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