Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 13
Use o método de newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.
A raiz de no intervalo
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a raiz da função em um determinado intervalo, usando o método de Newton com precisão de seis casas decimais.
no intervalo
Pra isso, precisamos lembrar que o método de Newton vai nos dar uma aproximação numérica para as raízes de uma equação com grau elevado, no nosso caso, temos uma equação de grau . Essa aproximação é determinada por meio de iterações (tentativas), usando a fórmula:
Onde é a aproximação, é a nossa função aplicada no ponto e é a derivada da função no ponto, que precisa ser diferente de zero.
Então, vamos atribuir valores para e vamos testar na equação, substituindo a função e sua derivada no ponto, até obtermos duas aproximações que tenham casas decimais iguais.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por , então vamos derivar aplicando a regra de derivação para polinômios:
E sempre lembrando que a derivada de uma constante é igual a zero.
Como ele disse que existe uma raiz no intervalo , vamos pegar no meio do nosso intervalo. Logo,
Agora é só usar a fórmula do método de Newton (que vimos no passo ), substituindo , e :
Como , temos:
Fazendo as contas, obtemos:
Passo 3
Agora o processo é análogo para achar o . Basta substituir no lugar . Assim:
Da mesma forma, para , temos:
Para :
Para :
Opa, esses últimos deram iguais. Logo, é a representação da raiz com seis casas decimais, que queríamos encontrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉