Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 16
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
16.
Passo 1
Fala aí, tudo beem?
Nosso objetivo nessa questão é encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência, certo? Para fazer isso, precisamos encontrar algum padrão que essa sequência tenha.
Então vamos analisar a sequência passo a passo:
- O primeiro termo da sequência é .
- O segundo termo é obtido adicionando ao primeiro termo: .
- O terceiro termo é obtido adicionando novamente ao segundo termo: .
- Esse padrão continua, onde cada termo subsequente é obtido adicionando ao termo anterior.
Acho que conseguimos encontrar um padrão! Agora vamos tentar expressar isso para o termo geral .
Passo 2
Agora, para expressar isso em uma fórmula para o termo geral :
- O termo inicial é .
- Cada termo subsequente é obtido adicionando vezes o número do termo anterior menos , pois começamos a contar do primeiro termo.
Assim, a fórmula geral para o n-ésimo termo é:
Onde é o número do termo na sequência. Beleza?
Se quiser podemos até expandir essa expressão:
Passo 3
Uma observação importante é que essa fórmula que encontramos é uma PA (progressão aritmética). Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma. No caso da sequência , a diferença entre cada par de termos consecutivos é sempre , o que significa que é uma Progressão Aritmética.
Para uma progressão aritmética a expressão de é:
Onde é a razão da progressão! No nosso caso, os termos se repetem de 3 em 3, não é mesmo? Então nosso é . Ademais, o primeiro termo que nos foi dado é , então . Substituindo na expressão, teremos:
Show?!