Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 96

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

96.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Que bom, então vem comigo para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí!

Como o enunciado já pede pra assumir que a sequência converge, não precisamos provar isso. Então, nosso trabalho vai ser somente encontrar o limite da sequência. Para fazer isso, vamos assumir que esse limite é :

E aplicar isso na equação de recursão. Fica ligado aí no próximo passo.

Passo 2

Aplicando o limite em ambos os lados da equação de recursão, nós ficamos com

Então, e são valores possíveis. Mas, se a gente prestar bem atenção na definição da sequência, dá pra ver que todos os termos vão ser menores ou iguais a , o que elimina o valor . Vamos provar que isso é verdade no próximo passo.

Passo 3

Para provar que todos os termos da sequência são menores que , vamos usar indução matemática. Temos . Assumindo que , temos

Ou seja, o limite da sequência tem que ser . Por enquanto, é só. Te vejo na próxima!

Resposta

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