Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

96. a_1 = 3, a_(n+1) = 12 - raiz(a_n)

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Que bom, então vem comigo para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí!

Como o enunciado já pede pra assumir que a sequência converge, não precisamos provar isso. Então, nosso trabalho vai ser somente encontrar o limite da sequência. Para fazer isso, vamos assumir que esse limite é L :

l i m n → ∞ a n = L

E aplicar isso na equação de recursão. Fica ligado aí no próximo passo.

Passo 2

Aplicando o limite em ambos os lados da equação de recursão, nós ficamos com

l i m n → ∞ a n + 1 = l i m n → ∞ 12   -   a n = 12 -   l i m n → ∞ a n

⇒ L = 12 -   L ⇒ 12 - L = L

⇒ 12 - L 2 = L

⇒ 144 - 24   L + L 2 = L

⇒ L 2 - 25 L + 144 = 0

⇒ ( L - 16 ) ( L - 9 ) = 0

Então, L = 16 e L = 9 são valores possíveis. Mas, se a gente prestar bem atenção na definição da sequência, dá pra ver que todos os termos vão ser menores ou iguais a 12 , o que elimina o valor L = 16 . Vamos provar que isso é verdade no próximo passo.

Passo 3

Para provar que todos os termos da sequência são menores que 12 , vamos usar indução matemática. Temos a 1 = 3 < 12 . Assumindo que a n < 12 , temos

a n < 12 = 3,64

a n + 1 = 12   -   a n = 12 - 3,64 = 8,36 < 12

Ou seja, o limite da sequência tem que ser L = 9 . Por enquanto, é só. Te vejo na próxima!

Resposta

9

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