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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 26

Calcule a integral indefinida:

int (d y)/(9 e^y + e^(- y))

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

int (d y)/(9 e^y + e^(- y)) = int (d y)/(9 e^y + (1)/(e^y)) = int (d y)/((9 ( e^y )^2 + 1)/(e^y)) = int (e^y d y)/(9 ( e^y )^2 + 1) = int (e^y d y)/(( 3 e^y )^2 + 1)

Agora ficou interessante, percebam que o que está elevado a 2 , é algo que se a gente derivar, obtemos uma expressão parecida com o numerador.

Passo 2

Faremos a substituição u = 3 e^y e derivando temos d u = 3 e^y d y .

Agora vamos manipular a expressão de d u , para ficar igual o numerador. Dividindo tudo por 3 , ficamos com (d u)/(3) = e^y d y .

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

int (e^y d y)/(( 3 e^y )^2 + 1) = int (((d u)/(3)))/(u^2 + 1) = (1)/(3) int (d u)/(u^2 + 1)

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa integral:

I = (1)/(3) int (d u)/(u^2 + 1) = (1)/(3) tan^(- 1) u + C

Aqui devemos lembrar que ( tan^(- 1) u ) ' = (1)/(u^2 + 1) , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Passo 5

O último passo é voltar na variável original y . Como o problema deu uma integral indefinida na variável y , nós devemos dar a resposta nesta variável também.

int (d y)/(9 e^y + e^(- y)) = (1)/(3) tan^(- 1) u + C

Sendo u = 3 e^y , temos:

int (d y)/(9 e^y + e^(- y)) = (1)/(3) tan^(- 1) ( 3 e^y ) + C

Resposta

int (d y)/(9 e^y + e^(- y)) = (1)/(3) tan^(- 1) ( 3 e^y ) + C

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