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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 6

Suponha que f seja de ordem exponencial γ e que, para todo t real,

f ' t + 3 f t = t

Mostre que, para todo s > γ :

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = f 0 s + 3 + 2 s 2 s + 3

Conclua que existem constantes A , B e C tais que

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = f 0 s + 3 + A s + B s 2 + c s + 3

Agora, utilizando o Exercício 8 da seção 4.1 e supondo f 0 = 1 , determine f que verifique 3 e, em seguida, que esta f satisfaz 2.

Passo 1

Inicialmente, o enunciado nos disse que:

f ' t + 3 f t = t

Multiplicando por e - s t nos dois lados:

e - s t f ' t + 3 e - s t f t = t e - s t

Aplicando a integral, temos:

∫ 0 ∞ e - s t f ' t d t + ∫ 0 ∞ 3 e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t

Logo,

3 ∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t - ∫ 0 ∞ e - s t f ' t d t

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada separadamente na seguinte integral:

I 1 = ∫ 0 ∞ e - s t f ' t d t

Integrando por partes:

I 1 = e - s t f t 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - s ⋅ e - s t f t

Aplicando entre os ponto 0 e ∞ :

I 1 = lim t → ∞ ⁡ f t e ∞ - f 0 e 0 - ∫ 0 ∞ - s ⋅ e - s t f t

Logo,

I 1 = - f 0 + s ∫ 0 ∞ e - s t f t

Voltando para expressão do Passo 1:

3 ∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t - ∫ 0 ∞ e - s t f ' t d t

Substituindo I 1 :

3 ∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t - - f 0 + s ∫ 0 ∞ e - s t f t

Logo,

s + 3 ∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t + f 0

Portanto,

∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t s + 3 + f 0 s + 3

Passo 3

Agora vamos calcular ∫ 0 ∞ t e - s t d t . Primeiro vamos integrar de a até b e depois a gente aplica entre os pontos que a gente quer.

I 2 = ∫ a b t e - s t d t

A ideia aqui vai ser integrar por partes.

∫ a b u d v = u v a b - ∫ a b v d u

Vamos fazer o seguinte:

u = t   e d v = e - s t d t

Logo,

d u = d t e v = - 1 s e - s t

Então a integral fica:

I 2 = t ⋅ - 1 s e - s t a b - ∫ a b - 1 s e - s t d t

Arrumando as coisas:

I 2 = - t s e - s t a b + 1 s ∫ a b e - s t d t

Portanto,

I 2 = - b s e - s b + a s e - s a - 1 s 2 [ e - b t - e - a t ]

Para b = ∞ e a = 0 :

I 2 = lim b → ∞ ⁡ - b s e - s b - lim b → ∞ ⁡ 1 s 2 e - b t - 1  

Por fim,

I 2 = lim b → ∞ ⁡ - b s e - s b - lim b → ∞ ⁡ e - b t s 2 + 1 s 2

Calculando os limites, chegamos em:

I 2 = 1 s 2

Passo 4

Agora vai acabar essa parte. Do Passo 2:

∫ 0 ∞ e - s t f t d t = ∫ 0 ∞ t e - s t d t s + 3 + f 0 s + 3

Logo,

∫ 0 ∞ e - s t f t d t = 1 s 2 s + 3 + f 0 s + 3

Outra coisa que ele nos pede é para separar em frações parciais. Então vamos lá!

E = 1 s 2 s + 3 + f 0 s + 3

Como temos uma raiz de dupla, vamos fazer o seguinte:

E = M s + N s + O s 2 + P s + 3   + f 0 s + 3

Igualando as duas expressões de E :

M s + N s + O s 2 + P s + 3   + f 0 s + 3 = 1 s 2 s + 3 + f 0 s + 3

Assim,

M s + N s + O s 2 + P s + 3   = 1 s 2 s + 3

Dessa forma,

M s s + 3 + N s + O s + 3 + P s 2 = 1

3 O = 1 M + N + P = 0 3 M + 3 N + O = 0

Então,

O = 1 3

Reescrevendo o sistema:

M + N + P = 0 M + N = - 1 9

Portanto:

P = 1 9 , O = 1 3 e M + N = - 1 9

Voltando para nossa Expressão de E :

E = M s + N s + O s 2 + P s + 3   + f 0 s + 3

Logo,

E = M s + N s + O s 2 + P s + 3   + f 0 s + 3

E = M + N s + O s 2 + P s + 3   + f 0 s + 3

Substituindo os valores, temos:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = - 1 / 9 s + 1 / 3 s 2 + 1 / 9 s + 3   + f 0 s + 3

Assim, concluímos que existem constantes A , B e C tais que:

∫ 0 + ∞ e - s t f t d t = f 0 s + 3 + A s + B s 2 + c s + 3

Passo 5

Supondo f 0 = 1 , temos o seguinte:

∫ 0 ∞ e - s t f t d t = - 1 / 9 s + 1 / 3 s 2 + 1 / 9 s + 3   + 1 s + 3

Isto é,

∫ 0 ∞ e - s t f t d t = - 1 / 9 s + 1 / 3 s 2 + 10 / 9 s + 3  

Do exercício 8 da seção 4.1, sabemos o seguinte:

∫ 0 ∞ e - s t d t = 1 s     ( i )

∫ 0 ∞ e - s t t   d t = 1 s 2     ( i i )

∫ 0 ∞ e - s t e α t d t = 1 s - α      

Fazendo α = - 3 :

∫ 0 ∞ e - s t e - 3 t d t = 1 s + 3     ( i i i )

Agora vamos fazer o seguinte: - 1 9 ⋅ i + 1 3 ⋅ i i + 10 9 ⋅ ( i i i ) . Logo,

- 1 9 ∫ 0 ∞ e - s t d t + 1 3 ∫ 0 ∞ e - s t t   d t + 10 9 ∫ 0 ∞ e - s t e - 3 t d t = - 1 / 9 s + 1 / 3 s 2 + 10 / 9 s + 3  

Assim,

∫ 0 ∞ e - s t   - 1 9 + t 3 + 10 9 e - 3 t d t = - 1 / 9 s + 1 / 3 s 2 + 10 / 9 s + 3  

Então a função f será:

f t = - 1 9 + t 3 + 10 9 e - 3 t

Resposta

f t = - 1 9 + t 3 + 10 9 e - 3 t

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