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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 10

Use integração por partes para calcular a integral.

∫ x ⋅ s e n   2 x d x

Passo 1

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Podemos usar a regrinha do LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial) para escolher u .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica ( x ) e uma trigonométrica ( s e n   2 x ). Então pela regrinha:

u = x , d u d x = 1 ∴ d u = d x

d v = s e n   2 x   d x

Passo 2

Para achar v precisamos integrar d v . Podemos tentar uma substituição simples:

v = ∫ s e n   2 x d x

t = 2 x   , d t d x = 2 ∴ d t 2 = d x

Substituindo na nossa integral e calculando:

v = 1 2 ∫ s e n   t d t = - cos ⁡ t 2 = - cos ⁡ 2 x 2

Passo 3

Agora a gente pode usar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo o que a gente tem:

∫ x ⋅ e - x d x = x ⋅ - cos ⁡ 2 x 2 - ∫ - cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 d x = - x cos ⁡ 2 x 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

Podemos usar uma substituição simples para resolver essa integral que apareceu:

t = 2 x   , d t d x = 2 ∴ d t 2 = d x

∫ cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ t d t = s e n   t 2 = s e n   2 x 2

Nossas continhas ficam:

∫ x ⋅ s e n   2 x d x = - x cos ⁡ 2 x 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x = - x cos ⁡ 2 x 2 + s e n   2 x 4 + C

Não podemos esquecer da constante de integração, porque isso não é uma integral definida.

Resposta

- x cos ⁡ 2 x 2 + s e n   2 x 4 + C

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