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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 14

14. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f t = 3 t 4 - t 3 + 6 t 2 t 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a primitiva mais geral da seguinte função:

f t = 3 t 4 - t 3 + 6 t 2 t 4

Bom... A primitiva de uma função é uma função cuja derivada é igual à função original.

Em outras palavras, se F ( x ) é a primitiva de uma função f ( x ) , então a derivada de F ( x ) em relação a x é f x .

Lembre-se que:   f x = x n → F x = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1 .  

Lembre-se também que: f x = 1 x → F x = ln ⁡ x + c

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos reescrever nossa f ( x ) :

f t = 3 t 4 - t 3 + 6 t 2 t 4 = 3 t 4 t 4 - t 3 t 4 + 6 t 2 t 4

Então,

f t = 3 - 1 t + 6 t 2  

Para achar a primitiva, pelas informações dadas no Passo 1, vamos fazer o seguinte:

F x = 3 ⋅ t 0 + 1 0 + 1 - ln ⁡ t + 6 ⋅ t - 2 + 1 - 2 + 1 + C

Arrumando as coisas, temos:

F x = 3 t - ln ⁡ t + 6 ⋅ t - 1 - 1 + C

Por fim,

F x = 3 t - ln ⁡ t - 6 t + C

Passo 3

Derivando para conferir!

F ' x = 1 ⋅ 3 t 1 - 1 - 1 t - - 1 ⋅ 6 ⋅ t - 1 - 1

Então,

F ' x = 3 t 0 - 1 t + 6 t - 2 → F ' x = 3 - 1 t + 6 t 2

F ' x = f ( x )

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

F x = 3 t - ln ⁡ t - 6 t + C

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