Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 30

Encontre .

Passo 1

E aí, tudo certinho? O enunciado da questão nos dá a segunda derivada

de uma função desconhecida , e pede para a gente encontrar quem é essa função Uma outra informação que também temos, é que a função procurada vale nos pontos e .

Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?

Isso parece muito com o conceito de antiderivada, vamos relembrar dele rapidinho?

Uma antiderivada (ou primitiva) da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Em termos matemáticos, isso quer dizer o seguinte 😬:

Mas se liga, a derivada de é , certo? Assim como a derivada de é . Então, vamos precisar encontrar as duas antiderivadas abaixo:

Primeiro, a antiderivada de ou seja, é tal que

Segundo, a antiderivada de ou seja, é tal que

Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:

A antiderivada de uma potência é dada por

com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:

O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?

Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.

Vamos colocar a mão na massa nos próximos passos e encontrar essas antiderivadas?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a antiderivada da função dada:

Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência:

Simplificando os termos, e fazendo , temos:

Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a expressão obtida:

Ótimo! Confirmamos que a função encontrada é mesmo a antiderivada de .

Passo 3

Vamos calcular a antiderivada da função encontrada no passo anterior:

Agora teremos que mudar um pouco, pois nesse caso temos um termo com , e já sabemos que não podemos usar a mesma fórmula que usamos no passo anterior. Precisamos pensar numa função cuja a derivada é igual a .

Mas então, o que faremos para encontrar uma antiderivada para 🤔?Vamos pensar em funções que são super conhecidas e nos perguntar se é a derivada de alguma delas, beleza? Pensando bem, é sim! Saca só:

onde usamos módulo pois a função logaritmo não está definida para números negativos.

Agora conseguimos encontrar a antiderivada que queremos:

Simplificando os termos, e fazendo , então:

Conferindo se não fizemos nenhuma besteira:

Observe que a função encontrada é uma antiderivada geral da função , pois como mo e D são quaisquer constantes, então temos várias funções satisfazendo