Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 30
Encontre .
Passo 1
E aí, tudo certinho? O enunciado da questão nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede para a gente encontrar quem é essa função Uma outra informação que também temos, é que a função procurada vale nos pontos e .
Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de antiderivada, vamos relembrar dele rapidinho?
Uma antiderivada (ou primitiva) da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Em termos matemáticos, isso quer dizer o seguinte 😬:
Mas se liga, a derivada de é , certo? Assim como a derivada de é . Então, vamos precisar encontrar as duas antiderivadas abaixo:
- Primeiro, a antiderivada de ou seja, é tal que
- Segundo, a antiderivada de ou seja, é tal que
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A antiderivada de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Já temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.
Vamos colocar a mão na massa nos próximos passos e encontrar essas antiderivadas?
Passo 2
Primeiro vamos calcular a antiderivada da função dada:
Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência:
Simplificando os termos, e fazendo , temos:
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a expressão obtida:
Ótimo! Confirmamos que a função encontrada é mesmo a antiderivada de .
Passo 3
Vamos calcular a antiderivada da função encontrada no passo anterior:
Agora teremos que mudar um pouco, pois nesse caso temos um termo com , e já sabemos que não podemos usar a mesma fórmula que usamos no passo anterior. Precisamos pensar numa função cuja a derivada é igual a .
Mas então, o que faremos para encontrar uma antiderivada para 🤔?Vamos pensar em funções que são super conhecidas e nos perguntar se é a derivada de alguma delas, beleza? Pensando bem, é sim! Saca só:
onde usamos módulo pois a função logaritmo não está definida para números negativos.
Agora conseguimos encontrar a antiderivada que queremos:
Simplificando os termos, e fazendo , então:
Conferindo se não fizemos nenhuma besteira:
Observe que a função encontrada é uma antiderivada geral da função , pois como mo e D são quaisquer constantes, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔?
Espia só o próximo passo!
Passo 4
Como
então vamos avaliar a função nos pontos e , sabendo que,
Para
mas como então substituindo temos
o que nos diz que .
Para
Mas já descobrimos que , certo? Além disso, sabemos que então podemos reescrever essa igualdade como sendo:
Logo, e
Pronto, substituindo os valores encontrados para e , descobrimos que a única função que satisfaz as condições do enunciado é:
Resposta
A função procurada é dada por: