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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 16

14) Ao meio-dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B . O navio A está navegando para o leste a 35 km/h, e o navio   B está navegando para o norte a 25 km/h. Quão rápido varia a distância entre os navios às 4 horas da tarde?

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opa, bora lá! Nesse probleminha temos dois navios navegando da seguinte forma: N a v i o   A → 150   k m   o e s t e   d o   n a v i o   B - N a v e g a n d o   a   35 k m / h   p r o   l e s t e

N a v i o   B → N a v e g a n d o   a   25 k m / h   p r o   n o r t e

O que a gente quer saber é quão rápido varia a distância entre os navios às 4 horas da tarde. Ou seja:

d x d t = ? ? ? ,   t = 4 h

Mas não é só isso, temos vários itens pra responder que vão nos ajudar a chegar na resposta final! Bora lá?!

Passo 2

Item a: Quais são as quantidades dadas no problema?

Vamos considerar o movimento dos navios sobre o plano cartesiano de modo que a direção de sul a norte corresponde ao eixo x e a direção de oeste a leste, corresponde ao sentido do eixo y . Tendo isso em vista, nos foi dado as velocidades de A e B que são, respectivamente, 35 km/h e 25 km/h. Como o navio A só navega para o leste, então só percorre o eixo x e de mesmo modo, o navio B só percorre o eixo y . Portanto:

x ' t = 35

y ' t = 25

Passo 3

Item b: Qual é a incógnita?

A incógnita é a taxa de variação da distância d entre os navios, ou seja, d ' ( x ) .

Passo 4

Item c: Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

Passo 5

Item d: Escreva uma equação que relacione as quantidades.

Se imaginarmos os navios como pontos no plano cartesiano e meio-dia é o momento inicial (t=0), então suas coordenadas ( x , y ) são A = x t - 150,0 e B = 0 , y t . A distância entre os pontos então é dada por:

d = x t - 150 2 + y t 2

Onde x t = 35 t e y t = 25 t .

Passo 6

Item e: Agora vamos finalizar a questão!

Primeiramente, vamos derivar a equação em função do tempo para obter a relação entre taxas de variação:

d ' t = 1 2 x t - 150 2 + y t 2 - 1 2 × [ 2 x t - 150 x ' t + 2 y t × y ' t ]

Às 4 horas da tarde, t = 4 , os valores de x e y são:

x 4 = 35 4 = 140

y 4 = 25 ( 4 ) = 100

E como x ' t = 35 e y ' t = 25 então:

d ' 4 = 1 2 140 - 150 2 + 100 2 - 1 2 × [ 2 140 - 150 35 + 2 100 × 25 ]

d ' t = 2 2500 - 350 2 10100 = 21 , 4

Logo, a distância entre os navios varia a uma razão de 21 , 4   k m / h .

Resposta

A distância entre os navios varia a uma razão de 21 , 4   k m / h .

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