Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 2
(a) Se fora área do círculo com raio e, à medida que o tempo passa, o círculo se expandir, encontre em termos de
(b) Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a m?
Passo 1
Opa, bora lá resolver esse problema! Temos um círculo que esta se expandindo ao longo do tempo, ele tem área e raio .
Sabendo disso o enunciado pede pra a gente encontrar em função de
Para isso a primeira coisa que devemos fazer é relacionar a área do círculo em função do comprimento de seu raio. Sabemos que se é o tamanho do raio, então a área é dada por:
Passo 2
Se varia com o tempo e a área varia em função de então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo:
Vamos derivar a área em relação ao tempo implicitamente:
Logo, em termos de é dada por .
Passo 3
Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de m/s, quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a m?
Na letra (b) a gente tem um problema prático! Temos uma ruptura em um petroleiro e o petróleo se espalha formando um padrão circular! Temos que responder quão rápido a área do vazamento está crescendo quando o raio é igual a m, sabendo que o raio do óleo derramado é de .
Se m/s quando m, então:
Logo, a área do vazamento está crescendo a uma taxa de m2/s.
Resposta
(a) em termos de é dada por .
(b) A área do vazamento está crescendo a uma taxa de m2/s.