Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 14
14. Use o método de newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.
A raiz de no intervalo
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto!
Ela pede pra gente usar o método de Newton para encontrar, com precisão de seis casas decimais, a raiz de
no intervalo
E para isso, vamos relembrar o que é esse tal método de Newton.
Nele vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fizemos que a sequência converge para .
Assim:
Perfeito. Então vamos usar essa ideia para encontrar o que o exercício pediu.
Passo 2
Nossa função é a dada por
E vamos começar procurando sua derivada para aplicar o método de Newton.
Derivando cada termo com a regra do expoente, temos:
Passo 3
Agora é só usar aquela formula da teoria:
Logo,
Passo 4
Para começar, vamos pegar no meio do nosso intervalo. Logo,
Agora vamos usar aquela expressão do Passo 1!
Fazendo as contas:
Agora o processo é análogo para achar o , Assim:
Para :
Para :
Para :
Opa, esses últimos deram iguais. Logo, é a representação da raiz com 6 casas decimais.