14. Use o método de newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de 2,2 * x^5 - 4,4 * x^3 + 1,3 * x^2 - 0,9 * x - 4,0 = 0 no intervalo [-2, -1]

Passo 1

Fala aí, tudo bem com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto!

Ela pede pra gente usar o método de Newton para encontrar, com precisão de seis casas decimais, a raiz de

2,2 x 5 - 4,4 x 3 + 1,3 x 2 - 0,9 x - 4,0 = 0 no intervalo [ - 2 , - 1 ]

E para isso, vamos relembrar o que é esse tal método de Newton.

Nele vamos considerar uma reta L tangente à curva da função no ponto x 1 ,   f x 1 .

Depois devemos procurar a interseção de L como o eixo x , que será chamada de x 2 e verificar o quão próximo x 2 está da interseção r da curva com o eixo x .

Para encontrar x 2 , podemos fazer:

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

Depois, repetimos o processo, usando x 2 como uma segunda aproximação, fazendo:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

E se x n ficar cada vez mais próxima da raiz r de nossa curva à medida que n cresce, fizemos que a sequência converge para r .

Assim:

lim n → ∞ ⁡ x n = r

Perfeito. Então vamos usar essa ideia para encontrar o que o exercício pediu.

Passo 2

Nossa função é a dada por

f x = 2,2 x 5 - 4,4 x 3 + 1,3 x 2 - 0,9 x - 4,0

E vamos começar procurando sua derivada para aplicar o método de Newton.

Derivando cada termo com a regra do expoente, temos:

f ' x = 11,0 x 4 - 13,2 x 2 + 2,6 x - 0,9

Passo 3

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Logo,

x n = x n - 1 - 2,2 x n - 1 5 - 4,4 x n - 1 3 + 1,3 x n - 1 2 - 0,9 x n - 1   - 4,0 11,0 x n - 1 4 - 13,2 x n - 1 2 + 2,6 x n - 1 - 0,9

Passo 4

Para começar, vamos pegar x 1 no meio do nosso intervalo. Logo,

x 1 = 1,5

Agora vamos usar aquela expressão do Passo 1!

x 2 = x 1 - 2,2 x 1 5 - 4,4 x 1 3 + 1,3 x 1 2 - 0,9 x 1   - 4,0 11,0 x 1 4 - 13,2 x 1 2 + 2,6 x 1 - 0,9

Fazendo as contas:

x 2 ≈ - 1,4253

Agora o processo é análogo para achar o x 3 , Assim:

x 3 ≈ - 1,405490

Para x 4 :

x 4 ≈ - 1,404124

Para x 5 :

x 5 ≈ - 1,404118

Para x 6 :

x 6 ≈ - 1,404118

Opa, esses últimos deram iguais. Logo, - 1,404118 é a representação da raiz com 6 casas decimais.

Resposta

- 1,404118

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