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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.10 - Ex. 9

Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.

1 1 + 2 x 4 ≈ 1 - 8 x

Passo 1

E aee, belezinha?? Então.. a questão quer que a gente encontre a aproximação linear da seguinte função em a = 0 :

f x =   1 1 + 2 x 4

Para isso, devemos aplicar a seguinte fórmula da linearização L x :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Lembrando que a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

E aí? Bora lá? 😉

Passo 2

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos derivar f ( x ) :

f ' x = - 4 1 + 2 x - 5 2

f ' x = - 8 1 + 2 x 5

Então, L ( x ) em a é:

L x = 1 1 + 2 a 4 - 8 1 + 2 a 5 ( x - a )

Fazendo a = 0 , temos:

L x = 1 1 + 2 0 4 - 8 1 + 2 0 5 x - 0

L x = 1 - 8 x

Logo, a linearização está correta.

Passo 3

Para uma precisão de 0,1 , o valor estimado, está numa faixa de ± 0,1 do valor real, ou seja:

f x - 0,1 < L x < f x + 0,1 ∴

Substituindo f x e L x , temos:

1 1 + 2 x 4 - 0,1 < 1 - 8 x < 1 1 + 2 x 4 + 0,1

Subtraindo cada um dos três por 1 - 8 x , temos:

1 1 + 2 x 4 - 0,1 - 1 - 8 x < 1 - 8 x - 1 - 8 x < 1 1 + 2 x 4 + 0,1 - 1 - 8 x ∴

1 1 + 2 x 4 - 0,1 - 1 - 8 x < 0 < 1 1 + 2 x 4 + 0,1 - 1 - 8 x

Que é a mesma coisa de a gente dizer que:

1 1 + 2 x 4 - 0,1 - 1 - 8 x 1 1 + 2 x 4 + 0,1 - 1 - 8 x < 0

Essa condição estará satisfeita quando x estiver no seguinte intervalo:

- 0,045 < x < 0,055

Resposta

L x = 1 - 8 x

- 0,045 < x < 0,055

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