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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 32

32) Sejam f x = x - 1 2 , g x = e - 2 x e h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x .

(a) Determine as linearizações para f , g e h em a = 0 . O que você observa? Como explicar o que aconteceu?

(b) Faça os gráficos de f , g e h e de suas aproximações lineares. Para qual função a aproximação é melhor? Para qual é pior? Justifique.

Passo 1

Nessa questão queremos obter a linearização L x   das funções a seguir em a = 0 .

f x = x - 1 2

g x = e - 2 x

h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x

E para isso vamos usar a seguinte fórmula:

L x = y a + y ' a x - a

Ou seja, vamos precisar derivar essas funções.

Por fim, no item b) devemos graficar as funções e suas aproximações e ver o que acontece.

Passo 2

Para obter a linearização L ( x ) uma função y x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = y a + y ' ( a ) ( x - a )

As funções são:

f x = x - 1 2

g x = e - 2 x

h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x

Vamos obter as suas derivadas:

f ' x = 2 x - 1

g x = - 2 e - 2 x

h x = - 2 1 - 2 x

Passo 3

Agora, vamos obter as linearizações das funções em a = 0 por meio da fórmula:

L x = y a + y ' ( a ) ( x - a )

Para   f x = x - 1 2 :

L x = 0 - 1 2 + 2 0 - 1 ( x - 0 )

L x = 1 - 2 x

Para g x = e - 2 x :

L x = e - 2 0 - 2 e - 2 0 x - 0

L x = 1 - 2 x

Para h x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 x :

L x = 1 + ln ⁡ 1 - 2 0 + - 2 1 - 2 ( 0 ) ( x - 0 )

L x = 1 - 2 x

Podemos ver que a linearização para as três funções em a = 0 é a mesma. Isso ocorre, pois quando x = 0 as três funções tem a mesma inclinação, ou seja, a mesma reta tangente.

Passo 4

Agora para o item b) vamos obter o gráfico.

Plotando as funções no gráfico temos:

Pelo gráfico, vemos que a linearização se aproxima melhor da função h x do que para as demais, isso ocorre por que as demais mudam drasticamente o comportamento depois de a = 0 .

A pior linearização é para a f x .

Resposta

A linearização para as três funções em a = 0 é a mesma. Isso ocorre, pois quando x = 0 as três funções tem a mesma inclinação, ou seja, a mesma reta tangente:   L x = 1 - 2 x .Melhor para h x e pior para f ( x ) .

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