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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 24

Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.

f x , y = x y e - x 2 - y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nesse nosso primeiro passo nós iremos apresentar o gráfico da função. Em seguida, vamos calcular o que se pode observar do gráfico, beleza?

Essa questão nos pede para encontrar os pontos críticos dessa função de duas variáveis, e a partir desses pontos, descobrir quais desses pontos são pontos de máximo, mínimo ou pontos de sela.

No cálculo de uma variável, descobrimos um ponto crítico de uma função f ( x ) ao tomar sua primeira derivada de modo que

d   f ( x ) d x = 0

Calculada essa expressão e encontrados os pontos críticos, tomamos a segunda derivada da função avaliada no ponto crítico para descobrirmos se é um ponto de máximo ou de mínimo

d 2   f x 0 d x 2 > 0

d 2   f x 0 d x 2 < 0

d 2   f x 0 d x 2 = 0

Para uma função de mais de uma variável, temos testes análogos para obter os pontos críticos.

Dessa vez, no entanto, devemos levar em consideração as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos ( x o , y o )

∂ f x , y ∂ x = ∂ f ( x , y ) ∂ y = 0

Porém, diferente do caso de uma variável, o teste para se obter máximos, mínimos e pontos de sela é realizado a partir do determinante de uma matriz chamada matriz hessiana

D = f x x f x y f y x f y y = f x x f y y - f x y 2

Sendo f a b = ∂ f ∂ a ∂ b .

A partir do cálculo dessa determinante com as derivadas avaliadas em um ponto crítico ( x o , y o ) , temos que

D > 0   e   f x x x o , y o > 0 → f x o , y o é um ponto de mínimo local;

D > 0   e   f x x x o , y o < 0 → f x o , y o é um ponto de máximo local;

Se D < 0 , então f x o , y o é um ponto de sela.

Realizaremos esse teste para avaliar quais os pontos críticos da função.

Primeiro calcularemos suas derivadas parciais para obter os pontos críticos.

Em seguida calcular as derivadas segundas para calcular o determinante e descobrir quais os pontos de máximo, mínimo e de sela.

Passo 2

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! No Passo 3 calcularemos os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . No Passo 4 usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 3

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   y e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 = 0 x e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2 = 0   ∴

∴   y 1 - 2 x 2 = 0 x 1 - 2 y 2 = 0 ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s 0,0 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2

Passo 4

Calculemos o sinal de

D = f x x f x y f y x f y y

= - 2 x y e - x 2 - y 2 3 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y e - x 2 - y 2 3 - 2 y 2

e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = 0,0 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 0,0

= 0 1 1 0 = - 1 < 0

Como D < 0 , concluímos que x c , y c = ( 0,0 )  é um ponto de sela .

– Para x c , y c = 1 2 , 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , 1 2

= - 2 e 0 0 - 2 e = 4 e 2 > 0

f x x 1 2 , 1 2 = - 2 e < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , concluímos que x c , y c = 1 2 , 1 2  é um ponto de máximo local .

– Para x c , y c = 1 2 , - 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , - 1 2

= 2 e 0 0 2 e = 4 e 2 > 0

f x x 1 2 , - 1 2 = 2 e > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = 1 2 , - 1 2  é um ponto de mínimo local .

– Para x c , y c = - 1 2 , 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , - 1 2

= 2 e 0 0 2 e = 4 e 2 > 0

f x x - 1 2 , 1 2 = 2 e > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = - 1 2 , 1 2  é um ponto de mínimo local .

– Para x c , y c = - 1 2 , - 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , 1 2

= - 2 e 0 0 - 2 e = 4 e 2 > 0

f x x - 1 2 , - 1 2 = - 2 e < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , concluímos que x c , y c = - 1 2 , - 1 2  é um ponto de máximo local .

Resposta

0,0   é   u m   p o n t o   d e   s e l a - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

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